Aljabar

Rumus persamaan kuadrat mengungkapkan solusi dari persamaan derajat dua $ax^{2}+bx+c=0$ dalam koefisien $a,b,c$, dimana $a$ bukan nol.

Aljabar andre (dari bahasa Arab الجبر "al-jabr" ma na la fo'eluaha ia lamane, fangowuloi mbagia si no tekiko ("pengumpulan bagian yang rusak")) ya'ia da'ö sambua mbagia wamahaö moroi ba Matematika, sifao ba teori bilangan, Geometri ba tola gö ba wo Analisis matematis. No si no oi la'ila niha, aljabar ya'ia da'ö fangi'ila ba ngawalö dandra-dandra (simbol-simbol) matematika ba goi-goi hewisa wo fangamöi tandra-tandra ni'oguna'ö ba wangerai andrö; aljabar no sambua wamahaö samarahu arakhagö fefu mbagia ba matematika. Baero da'ö, aljabar andre, no sambua dane-dane ba wangalui lala hewisa wo fosinöndra ngawalö ni'erai ba matetika simane abstraksi grup matematika, Gelanggang matematika ba Medan matematika. Idugu oya mbagia dane-dane moroi ba aljabar latötöi faoma aljabar elementer, na aljabar abstrak latötöi faoma aljabar abstrak mazui aljabar modern. Aljabar elementer sito'ölönia labali'ö soguna sibai ba wamahaö matematika, ilmu pengetahuan, mazui teknik, faoma aplikasi sifakhai ba kesehatan ba simanö göi ba wamahaö ekonomi. Aljabar abstrak sambua duho ba matematika salaŵa ma'ifu ma tingkat lanjut, ni'oguna'ö ya'ira si no profesional ba ere matematika.

Aljabar elementer faehu ma'ifu faoma Aritmetika ba wangoguna'ö abstraksi, simane mangoguna'ö hurufo ba wo salahini numero-numero si lö mu'ilana mazui tetehege tola ihalö oya zinöndra (nilai). Simane duma-duma, ba $x+2=5$ hurufo $x$ lö mu'ila, ba hiza huku inversi tola la'oguna'ö ba wangalui sinöndra ma nilai: $x=3$. Bakha ba (Ekivalensi massa-energi), hurufo $E$ faoma $m$ da'ö ni'oguna'ö tobali variabel, ba hurufo $c$ sitobali Konstanta (matematika), kecepatan cahaya bakha ba vakum. Aljabar ibe'e lala metode ba wangalui wamagölösi ba hewisa ba wo faehagö rumus saoha (khöra ya'ira si no to'ölö mangoguna'ö konsep da'a) moroi na i'oguna'ö metode konvensional, simane lasura fefu zinöndra faoma hurufo ma ngawua wehede.

Ngawua wehede aljabar andre, oya sibai la'oguna'ö ba ngawalö lala sakhökhö. Ngawalö gangolifa ba dandrösa matematika ba aljabar abstrak da'ö nifotöi "aljabar", fehede da'a la'oguna'ö, simane ba wanötöi aljabar linear faoma topologi aljabar.

Samösa gere matematika si no mamalua famareso ma ba li Indonesia lamane penelitian sanandrösa ba aljabar lakaoni faoma fanötöi; aljabarwan.

Etimologi

Fehede aljabar tefoli moroi ba Bahasa Arab الجبر (al-jabr molo'ö famo'eluaha moroi ba ngawua wehede andrö, eluahania ya'ia da'ö; "fangowuloi ngawalö zi no tekiko") fehede ma fanötöi da'a, tehalö moroi ba zi sambua mbuku nibe'e högö mbuku andrö Al Kitaab al muhtasar fii hisaab al jabr wa'l muqabaala nisura matematikawan ba astronom Persia, Al-Khwarizmi. Ngawua wehede da'a no möi ia ba bahasa Inggris ba abad si 15, he moroi ba Spanyol, Italia, mazui moroi ba Pertengahan Latin. Aljabar ba zi'oföna latötöi ia prosedur operasi pengaturan patah ma dislokasi tulang. Eluahania ba matematika si'oföna sibai lasura ba abad 16.

Ngawalö geluaha "aljabar"

Ngawua wehede "aljabar" so lala wangoguna'ö ya'ia bakha ba matematika, sitobali fehede nitandrösaigö ba dandrösa mazui faoma kualifikasi.

• Sitobali fehede fanandrösa ba dandrösa ma kata tunggal si lö mangoguna'ö kata sandang, "aljabar" töi sambua wamahaö ba wamahaö matematika.
• Sitobali fehede fanandrösa ba dandrösa ma kata tunggal mazui ba wanötöi ha wa'oya, "aljabar" ifaehagö wenaeta ma struktur matematika faoma fa'akhökhö, ba famo'eluaha satulö, te balazigö hewisa gamöta dödö zanura ya'ia. Sito'ölönia fenaeta da'a so khönia wamonönö (penambahan, perkalian, ba skalar perkalian). Ba ginötö zanura mangoguna'ö fehede "aljabar", lahaogö sambua subset moroi ba asumsi tambahan simane: asosiatif, komutatif, unital, mazui/faoma dimensi berhingga. Bakha ba aljabar universal, fehede "aljabar" tefaolo ba generalisasi moroi ba konsep da'ö moroi yaŵa, tola manö; n-ary operasi.
• Faoma kualifikasi, so wa'afabö'ö sifagölö:
  • Lö hadöi khönia kata sandang, eluahania no föfö moroi ba aljabar, simane aljabar linier, aljabar elementer ma simbol-manipulasi goi-goi nifaha'ö ba naha wamaha'ö ma kursus sd matematika sitobali dane-dane moroi ba wamahaö pendidikan dasar faoma menengah, mazui aljabar abstrak.
  • Sangoguna'ö kata sandang, eluahania sambua duma-duma moroi ba struktur abstrak, simane aljabar bentang, aljabar asosiatif, mazui aljabar operator verteks.
  • Fa'itaria dombua geluaha da'a la'oguna'ö ba wangerai sifagölö, simane bakha ba kalimat: aljabar Komutatif adalah studi tentang gelanggang komutatif, yang merupakan aljabar komutatif atas bilangan bulat.

Aljabar moroi ba Matematika

Aljabar andre tebörötaigö moroi ba wangerai sifagölö ba Aritmetika, sangoguna'ö hurufo ba wo salahini numero. Da'a tola möi sitobali dane-dane moroi ba zindruhunia heŵa'ae lö lafaogö khönia numero-numero. Simane duma-dumania, ba persamaan kuadrat

$ax^{2}+bx+c=0,$

$a,b,c$ tola tobali bilangan gofu hadia manö(kecuali bahwa $a$ tidak dapat bernilai $0$), ba rumus kuadrat andre tola la'oguna'ö wa'alio ba aoha ba wanöndra nilai-nilai moroi kuantitas $x$ si lö mu'ila ma ba wofönui persamaan. Rumus kuadrat la'oguna'ö ba wamatunö persamaan, ba aefa da'ö ba wanöndra hadia lala moroi ba persamaan da'ö.

Molo'ö waö-waö, ba famahaö ba ginötö iada'a, famareso aljabar tebörötaigö moroi hewisa ba wamosinöndra persamaan simane persamaan kuadrat da'ö yaŵa. Aefa da'ö, oya wanofu-wanofu sito'ölö, simane; "hadia persamaan simane da'ö so lala wamosinöndra ya'ia?", "hawa'oya lala nitörö ba wangasiwai ngawalö wamosinöndra persamaan da'a?", "hadia zitola lafaehagö moroi ba lala wamosinöndra fanofu andrö?". Fanofu-fanofu simane da'a, möi ba wa'atohare ngawalö mbua wangera-ngera sifakhai ba bentuk, struktur faoma simetri. Sifat-sifat struktural moroi ba objek-objek non-numerik ma si tenga numero, aefa da'ö awena la abstraksi ba wanutunö waö-waö struktur-struktur aljabar simane grup (matematika), gelanggang (matematika), faoma medan (matematika).

Fatua lö abad si-16, matematika so ba zidombua subbidang, ya'ia da'ö Aritmetika faoma Geometri. Heŵa'ae ba zi ha'uga ngawalö metode, si no oföna mu'ehaogö, te da'ö ni'ila niha sitobali aljabar, ma fa'atohare aljabar faoma lö ara aefa da'ö, Kalkulus infinitesimal sitobali subbidang matematika ha ba gotalua abad si-16 ma abad si-17. Moroi ba dalu abad si-19, oya zibohou sifakhai ba matematika, nifaehagö moroi ba aritmetika faoma geometri, ba arakhagö fefu mangoguna'ö aljabar.

Ba ginötö iada'a, aljabar no idugu sökhi irege oya wamahaö moroi ba matematika zangoguna'ö simane sitola mufaigi ba Klasifikasi Subjek Matematika hiza, lö hadöi he ha sambua moroi ba wenaeta si'oföna (dua digit entri) nifotöi aljabar. Iada'a aljabar no irugi 08-sistem-sistem aljabar umum, 12-teori medan dan Polinomial, 13-Aljabar Komutatif, 15-Aljabar Linear dan multilinear; teori matriks, 16-Aljabar Asosiatif, 17-Aljabar tak-Asosiatif, 18-Teori Kategori; Aljabar Homologis, 19-Teori-K, faoma 20-Teori Grup. Aljabar andrö la'oguna'ö göi ia molo'ö ekstensif bakha 11-Teori Bilangan faoma 14-Geometri Aljabar.

Waö-waö (Sejarah)

Böröta aljabar (Sejarah awal aljabar)

Nga'örö moroi ba mbuku ni sura Al-Khwarizmi yang berjudul al-Kitab al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala (Buku Ringkasan tentang Perhitungan dengan Pelengkapan dan Penyetimbangan

Ŵa'a moroi ba aljabar andre, tola mu'osisi'ö ofeta ba ginötö me Babilonia kuno, samazaewe ma sangodödögö fangi'ila sifakhai ba sistem aritmetika lanjut ni'oguna'ö ba wangerai menurut gaya algoritme. Bangsa Babilonia la odödögö ba wangi'ila rumus ba wangerai hewisa lala wanema li ma hewisa ba wangalui sinöndra moroi ba ngawalö zedöna la'erai ba ginötö iada'a, hiza ba wangalui sinöndrönania la'oguna'ö lala persamaan linear, persamaan kuadrat, faoma persamaan taktentu. Hiza, tenga fefu, so göi matematika Mesir Kuno ma ni'oguna'ö ira niha Mesir ba ginötö iada'a faoma Matematika Yunani ba matematika Tiongkok ba milenium 1 SM sito'ölönia lafosinöndra wanofu andrö faoma metode geometris, simane si no lafaehagö bakha ba Papirus Matematika Rhind, Elemen Euklides, faoma Sembilan Bab mengenai Seni Matematika. Karya geometris moroi Yunani, simane si no lasura bakha Elemen, no lahenagö döla-döla dödö ma kerangka kerja ba wame'e rumus ma na'i manalu'i moroi ba zinöndra nitötöna irege da'a nigo'ö zato ba wangalui sinöndra, heŵa'ae da'a lö si tehöngö fatua lö si muledo Matematika Islam ba abad pertengahan.

Ba ginötö Plato, matematika Yunani no so wa'atedou. Niha Yunani no la'ila nifotöi aljabar geometri, hiza moroi ba wamahaö andrö tefaehagö awa suku-suku matematika tetötöi ia moroi ba sisi-sisi ba objek geometri, sito'ölönia simane famadölö ma garis, sangokhögö hurufo-hurufo sifakhai ba wangerai. Diofantus (abad si-3 Masehi) ya'ia da'ö samösa gere matematika ma laŵa'ö ba wehede lamane Matematikawan Yunani moroi ba mbanua Iskandariyah ba si no manura oya mbuku nifotöi Arithmetica. Sinura-sinura andre fakhai ia ba wamosinöndra ngawalö wanofu moroi ba persamaan aljabar, ba hiza no möi famarou ba si ba wangi'ila nifotöi persamaan Diofantin bakha ba teori bilangan.

Sito'ölö nifalui ba ginötö iada'a na la faedogö moroi ba ni fa'ema ba da'ö moroi yaŵa, no manandrösa ia ba Matematikawan bangsa Persia, Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (kira-kira 780–850). Aefa da'ö isura mbuku nibe'enia högö mbuku andrö: Buku Ringkasan tentang Perhitungan dengan Pelengkapan dan Penyetimbangan, nifangamöi aljabar sitobali famahaö matematika ma disiplin matematika si lö mombalazigö geometri faoma aritmetika.

Matematikawan ba ginötö periode Helenistik, sotöi Heron moroi ba Iskandariyah faoma Diofantus, simanö göi Matematikawan India simane Brahmagupta manohugö sito'ölö lafalua ma tradisi-tradisi Mesir faoma Babilonia, heŵa'ae Arithmetica-nia Diophantus faoma Brāhmasphuṭasiddhānta-nia Brahmagupta so ba dadaoma sabölö alaŵa. Simane duma-dumania, lala wangalui aritmetika si'oföna (termasuk solusi nol dan negatif) soguna ba persamaan kuadrat, hulö simane si no ifaehagö Brahmagupta ba mbukunia Brahmasphutasiddhanta. Aefa da'ö, Matematikawan Persia faoma Arab no la'odödögö hewisa ba wondrou'ö metode-metode aljabar ba wogamö wetaro sabölö alaŵa. Heŵa'ae Diofantus faoma bangsa Babilonia asese sibai mangoguna'ö metode ad hoc nifaehagö ni'oguna'öra ba wangalui sinöndra persamaan-persamaan, bua wangera-ngera Al-Khwarizmi no tobali dane-dane si sökhi. No i'asiwai persamaan linear faoma kuadrat si lö mangoguna'ö simbolisme aljabar, bilangan negatif, mazui nol, börö da'ö, andrö wa si lö tola lö'ö i faehusi ngawalö persamaan.

Ba wamahaö aljabar andre, no la'ila niha ya'ia da'ö fakhai ia ba wamagölö ngawalö wangerai ma lamane teori persamaan, Matematikawan Yunani, sotöi Diofantus molo'ö wangi'ila niha sito'ölö, lakaoni ia faoma ere aljabar ma abölö enahöi wanötöi ya'ia, ya'ia da'ö: "bapak aljabar" ba hiza ba wa'anumalö ginötö, oya wabu'a-bu'asa sifakhai khö gere tanöbö'ö simane sotöi al-Khwarizmi, sangahaogö fangi'ila nifotöi: al-jabr, tola göi lakaoni ia faoma ama aljabar. Ya'ira sifao khö zöndra Diofantus zanguŵa'ö wa aljabar nisöndra bakha ba Al-Jabr tehude ma'ifu moroi ba nisöndra ba Arithmetica ba börö da'ö Arithmetica no hulö ni'adogo'ö, na Al-Jabr ma'afefu no hulö retoris. Na ya'ira sifao ba zöndra Al-Khwarizmi sifakhai ma samaehagö nifotöi metode "reduksi" faoma "penyetimbangan" (transposisi suku-suku yang diambil ke ruas lain suatu persamaan, yaitu, pencoretan suku-suku yang memiliki variabel dan pangkat sama pada ruas lain suatu persamaan), nituturu ma ni aekhugö moroi ba al-jabr ba mböröta, ba no ifaehagö molo'ö wangi'ilania ngawalö wamosinöndra sifakhai ba persamaan kuadrat ma fangerai ba numeronia samösa, i'abe'e'ö dödö niha molo'ö ngawalö zi so khönia sitobali dane-dane geometris, sifao ba wangoguna'ö aljabar sitonali sambua dane-dane ma disiplin nifaehagö molo'ö fa'ato'ölö zangoguna'ö ya'ia. Aljabar andre, lö sa'ae i'angeragö ngawalö wangalui sinöndra ba ngawalö wanofu, hiza sambua eksposisi ba mböröta sifakhai ba suku-suku primitif ba ngawalö wangorudugö ba wamagölösi sinöndra, ba tetohugö ia molo'ö eksplisit ba wangalui sinöndra satulö". Ya'ia göi no i'alui wamagölösi ma persamaan soguna khönia samösa ba lala wangerai sito'ölö simane nifalua niha bö'ö, ba hiza no iföfögö ba wangalui sambua zinöndra si lö hadöi amozua ma abölö sökhi wanötöi ya'ia ba li Indonesia lamane: tak terbatas.

Matematikawan Persia tanöbö'ö, sotöi Umar Khayyām si no latema ngawalö wangi'ila ba woföfögö dane-dane geometri aljabar ba ya'ia samösa ere samaehagö solusi geometris umum ba wangerai famagölösi fungsi kubik ma persamaan kubik. Buku nisurania nibe'e högö mbuku: Risalah tentang Peragaan Soal-Soal Aljabar (1070), so honogöigö ngawalö prinsip-prinsip aljabar, si no angolifa moroi ba zifakhai ba Matematika, hiza Matematika Persia andre, sindruhunia la fa'ohe'ö ba Eropa. Matematikawan Persia tanöbö'ö, simane Sharaf al-Din al-Tusi, sanöndra lala wamosinöndra aljabar faoma numero ba ngawalö zifakhai ba wamagölösi fangerai kubik ma persamaan kubik. Dia juga mengembangkan konsep mengenai fungsi. Matematikawan India, sotöi Mahavira faoma Bhāskara II, Matematikawan Persia Al-Karaji, faoma Matematikawan Tiongkok, Zhu Shijie, mangasiwai ngawalö wangerai sifakhai ba persamaan kubik, persamaan kuartik ma kuartik, persamaan kuintik, faoma famagölösi polinomial sasese laŵa'ö berorde abölö alaŵa mangoguna'ö metode numerik. Ba abad ke-13, fangasiwaisi persamaan kubik nifalua Fibonacci ya'ia da'ö sosalahini moroi ba mböröta wangi'ila aljabar Eropa. Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī (1412–1486) manga'i mbosi-bosi si'oföna sinumalö ba wangi'ila ngawalö dandra aljabar, ma ba li Indonesia lamane: "langkah-langkah pertama menuju perkenalan simbolisme aljabar". Hiza, no göi i'erai ∑n², ∑n³ ba i'oguna'ö wamahatö (suksesif) ba wotatugöi akar kuadrat. Ba ginötö Islam so ma'ifu we'amöi furi, dunia Eropa hi no wa'amanöi wangi'ila ba matematika. Ba da'ö aljabar andre, tedou wa'amozawili ba zi sagörö ulidanö.

Waö-waö Sibohou Aljabar (Sejarah modern aljabar)

Matematikawan Italia Girolamo Cardano mamatumbu'ö lala wangalui sinöndra kubik ma ba wehede matematika asese lamane fungsi kubik faoma fungsi kuadrat nisurania bakha ba mbuku ba ndröfi si 1545 nibe'e högö mbuku: Ars magna.

Karya François Viète sifakhai ba aljabar sibohou, ba gafuriata abadi si-16 ya'ia da'ö no sambua bosi soguna sibai sinumalö ba wangoguna'ö aljabar modern. Ba ndröfi si 1637, René Descartes mamatumbu'ö La Géométrie, sifao ba wanöndra sambua lala nifotöi geometri analitis ba hiza ifaehagö göi ba niha sato nifotöi notasi aljabar modern. Salua tanöbö'ö zifakhai ba wondrou'ö aljabar ya'ia da'ö ba wangasiwaisi aljabar si no oi la'ila niha sato ba zi sagörö ulidanö meluo da'ö ba wangalui hewisa wamagölösi nifotöi persamaan kubik faoma kuartik, nifanöi wangi'ila ba ginötö abad si-16. Bua wangera-ngera sifakhai ba determinan nifanöi moroi khö matematikawan Jepang sotöi Seki Kōwa ba abad si-17, no igo'ö ia sotöi Gottfried Leibniz ba wa'omasinia samösa, eluahania tenga ba döi gangowuloa ilau da'ö ba zi 10 fakhe fa'ara aefa da'ö, sitobali ohitö dödö ba wangalui hewisa zinöndra ba sistem persamaan linear simultan sangoguna'ö Matriks (matematika). Hiza, Gabriel Cramer ilau mohalöŵö sifakhai ba matriks faoma determinan ba abad si-18. Permutasi i'alui lala hewisa wangasiwaisi ngawalö wanofu sotöi Joseph-Louis de Lagrange ba mbuku nisurania me döfi si 1770 nibe'enia högönia Réflexions sur la résolution algébrique des équations (Refleksi ba resolusi aljabar ba zisambua wamagölösi), si'oföna sibai ba wotatugöi hewisa lala wangasiwaisi fanofu zisambua persamaan aljabar, hiza no ifaehagö resolven Lagrange. Paolo Ruffini ya'ia da'ö niha si'oföna sibai sofanöi teori moroi ba grup permutasi, hulö zimane nifalui ndra matematikawan ba mböröta, tola göi ba wangalui sinöndra persamaan aljabar.

Angolifa Matematika Sangoguna'ö Ngawua Wehede Aljabar ba Döira (Bidang matematika dengan kata aljabar pada nama mereka)

Ba zi ha'uga gangolifa matematika si no ahono ba zifakhai ba Aljabar (klasifikasi aljabar abstrak) mamaogö fehede aljabar ba döira; simane aljabar linear ha sambua duma-duma da'a. Ba hiza so göi zi lö'ö fao döira, simane: teori grup, teori gelanggang, faoma Medan (matematika) ma teori bidang. Ba da'a tou so gangolifa matematika sangoguna'ö fehede "aljabar" ba döira.

• Aljabar elementer, angolifa moroi ba aljabar sito'ölö nifahaö ba perkuliahan dasar Matematika.
• Aljabar abstrak, hiza ba struktur aljabar simane Grup (matematika), Gelanggang (matematika) faoma Medan (matematika) nifo'eluaha faoma sistem aksioma ma asese lamane aksiomatis.
• Aljabar linear, hiza no oya dandra-tandra moroi ba persamaan linear, Ruang vektor faoma Matriks (matematika) nitema niha ba wamahaö.
• Aljabar Boolean, angolifa aljabar samahatö komputasi faoma sahatö ba nilai kebenaran nifaehagö faoma fehede; atulö/benar faoma falasa/salah.
• Aljabar komutatif, famahaö sifakhai ba gelanggang komutatif.
• Komputasi simbolik mazui Aljabar komputer, famatöfaigö metode-metode aljabar simane; algoritme faoma program komputer.
• Aljabar homologis, famahaö fenaeta aljabar sitobali dane-dane ba wangi'ila ruang topologi.
• Aljabar semesta, tandra-tandra sito'ölö ba zi'ogötö'ö fenaeta aljabar nitema ba wamahaö.
• Teori bilangan aljabar, tandra-tandra bilangan nitema wamahaö molo'ö wamaigi moroi ba aljabar.
• Geometri aljabar, sambua gangolifa moroi ba geometri, ba wamaigi moroi meföna ba wotatugöi kurva faoma tete sitobali lala ba wangalui sinöndra wamagölösi persamaan polinomial.
• Kombinatorika aljabar, da'a sambua metode-metode aljabar ni'oguna'ö ba wamaigi fanofu kombinatorika.
• Aljabar relasional: sambua gangowuloa moroi ba relasi berhingga sitolumö barö zisambua operator.

Oya wenaeta matematika nifotöi aljabar:

• Aljabar atas medan mazui töra simane aljabar di atas gelanggang.
  Oya nahia ba aljabar ba dete danölafa mazui yaŵa ba nahia sangokhögö töi nitatugoi (spesifik):
  • Aljabar asosiatif
  • Aljabar takasosiatif
  • Aljabar Lie
  • Aljabar Hopf
  • Aljabar-C*
  • Aljabar simetri
  • Aljabar eksterior
  • Aljabar tensor
• Ba teori ukuran,
  • Aljabar sigma
  • Algebra ba dete Medan himpunan
• Bakha ba teori kategori
  • Aljabar-F faoma Koaljabar-F
  • Aljabar-T
• Bakha ba logika,
  • Aljabar relasi, aljabar Boolean beresidu, ni'ebolo'ö faoma fa'abua nifotöi faoma konvers.
  • Aljabar Boolean (struktur), kisi distributif faoma kisi komplemen na la'adogo'ö ia lamane komplemen.
  • Aljabar Heyting

Aljabar elementer

Notasi ekspresi aljabar:
  1 – pangkat (power)
  2 – koefisien
  3 – suku (term)
  4 – operator
  5 – suku konstanta
  x y c – variabel/konstanta

Aljabar elementer ya'ia da'ö angolifa aljabar nibali'ö dane-dane. Aljabar elementer nifahaö ba ndraono sekola ma siswa/mahasiswa nifaigi walö hadöi fangi'ila ba zifakhai ba matematika, ba hiza töra ma'ifu moroi ba nifaehagö si sabata, hiza tobali ia dane-dane ba wangi'ila ngawalö zedöna latema wamahaö matematika ya'ia da'ö dane-dane moroi ba aritmetika. Bakha ba aritmetika, ha bilangan faoma operasi aritmetika (simane; +, −, ×, ÷) ni'ila niha. Bakha ba aljabar, numero asese lasura ia faoma famaedo, nitötöi faoma fanguma'ö variabel (matematika) (simane; a, n, x, y, mazui z). Da'a moguna, börö me:

• Tetehegö ba wame'e lala nitörö moroi ba zi no latatugöi ba hukum-hukum aritmetika (simane; a + b = b + a ero-ero; a faoma b), ba hiza da'a no sambua bosi si'oföna numalö ba wangi'ila ma eksplorasi sistematis ba dandra-tandra numero sistem bilangan real.
• Tetehegö hezo lahalö ia gumbu zifakhai ba numero "anu", fame'e lala ma perumusan ba wamagölösi ma persamaan faoma ba wangalui sinöndra. (Simane duma-dumania, "Carilah bilangan x irege 3x + 1 = 10" ma na tatohugö ia; "Carilah bilangan x irege tobalia ia; ax + b = c". Bosi da'a numalö ba wurugö wa tenga dandra-tandra moroi ba zisambua numero zi tola mu'alui zinöndrania, hiza moroi ba operasi nilataeni khönia.
• Tetehegö ba wangalui wamosinöndra zifakhai ba fungsi (matematika). (Simane duma-dumania, "Na ö amawa x karcis, wa hare nisöndrau ya'ia da'ö fa'ebuania; 3x − 10 rupiah, mazui f(x) = 3x − 10, na tafaigi wa; f sambua fungsi, faoma x ya'ia da'ö ni'erai ba fungsi nilaeteni khönia.

Polinomial

Grafik fungsi polinomial berderajat 3.

Polinomial ma asese latötöi faoma fehede; suku banyak ya'ia da'ö sambua ekspresi (matematika) fa'oya ni'erai sitola ni'erai moroi ba suku (logika) ma suku-suku sitenga nol (tak-nol), ero-ero suku so khönia wokali nilai konstanta faoma wa'oya zitola ni'erai variabel (matematika) nifa'aso faoma fefu pangkat bilangan. Duma-dumania; x² + 2x − 3 ya'ia da'ö; polinomial bakha ba variabel tunggal x. Sambua ekspresi polinomial ya'ia da'ö; ekspresi sitola lafomendrua wanura ya'ia sitobali polinomial, sangoguna'ö sifat-sifat komutativitas, asosiativitas, faoma distributivitas famonönö faoma fokalikö. Simane duma-dumania;, (x − 1)(x + 3) da'a no sambua ekspresi polinomial. Sambua fungsi polinomial tola göi lamane fungsi nifo'eluaha polinomial, mazui, molo'ö ekivalen, moroi ba zi sambua ekspresi polinomial. Dombua duma-duma da'ö yaŵa mamaehagö fungsi polinomial sifagölö.

Dombua wanofu soguna sibai ba faoma fakhai bakha ba aljabar ya'ia da'ö; faktorisasi polinomial, famotokhi ya'ia simane ya'ia da'ö; mamaehagö polinomial sitobali fokali moroi ba polinomial-polinomial tanöbö'ö si tebai lagoligö sa'ae ma tebai nibagi, ba komputasi ma (faktor persekutuan terbesar polinomial). Duma-duma polinomial da'ö yaŵa sitola ni goligö sitobali; (x − 1)(x + 3). Sambua wenaeta wanofu sifakhai ya'ia da'ö ba wangalui ekspresi aljabar ba wamosinöndra akar fungsi zi sambua polinomial bakha ba variabel si mosindro samösa.

Famahaö (Pendidikan)

No lafaehagö wa aljabar elementer andre ena'ö sambua lala wamahaö ba ndraono sekola si no irugi 11 fakhe, heŵa'ae ba gafuriata andre so ma'ifu wa'atedou ba wamahaö aljabar elementer ba ndraono SMP ma sodadao ba kalasi 1 SMP (≈ 13 tahun ±) di Amerika Serikat. Heŵa'ae simanö, ba zekola si so ba Amerika Serikat, aljabar no lafahaö ba kalasi 3 SMP.

I'otarai me döfi si 1997, Institut Politeknik faoma Universitas Negeri Virginia ba universitas tanöbö'ö, no labörötaigö mangoguna'ö sambua lala wamahaö aljabar si no laföfögö ba wame'e fa'aboto ba dödö ba nifahaö moroi ba no lahaogö peranti lunak komputer ba wangahatö lala wangi'ila ba aljabar, ena'ö lö oya tetibo ginötö faoma soguna tanöbö'ö sangoguna'ö kefe.

Aljabar abstrak

Aljabar abstrak mangebolo'ö ngawalö zifakhai ba aljabar elementer faoma Aritmetika bilangan numalö ba mbosi-bosi sito'ölö la'oguna'ö. Ba da'a tou so mbosi-bosi ma lala nitörö bakha ba aljabar abstrak.

Himpunan Matematika: tenga ha sito'ölö töra ma'ifu wangasiwaisi ngawalö wanofu sifakhai ba wangeraisi sifabö'ö-bö'ö, aljabar abstrak fakhai ba gangorudua ma nibe'e fanötöi ; himpunan na lafo'eluaha ia ya'ia da'ö; angorudua si so amakhaita ba wangerai si tola ni'orudugö. Fefu gangorudua da'a latötöi faoma himpunan. Duma-duma simane; Matriks (matematika) dua-kali-dua(2x2), angorudua polinomial nibe'e faka 2 ma (berderajat 2 (ax² + bx + c), angorudua Vektor (spasial) dua dimensi ba zisambua nahia, ba tanöbö'ö soya sibai simane grup siklis, sifao bakha ba aritmetika modular ma modulo bilangan bulat n. Teori himpunan andre ya'ia da'ö sambua gangolifa moroi ba logika ba molo'ö lala wangalui sinöndrania ya'ia da'ö tenga fenaeta moroi ba aljabar.

Operasi biner: amozua wamonönö ma perjumlahan (+) la abstraksi ia ba wame'e sambua khönia operasi biner, Tola lamane ∗amozua moroi ba operasi biner lö gunania na lö hadöi nahia gangorudua lala wangerai sedöna lafalua. Ba zi dombua elemen moroi ba a faoma b bakha ba gangorudua S, a ∗ b ya'ia da'ö elemen tanöbö'ö bakha ba ni'orudugö; fangerai da'a latötöi ia fa'ateduhö matematika ma ba li Indonesia sasese latötöi ba matematika lamane; ketertutupan (matematika). Famonönö (+), Fangeheta (−), Fokali (×), faoma Fombagi (÷) tola tobali operasi biner na tefaehagö ia ba gangorudua zifabö'ö, duma-dumania famonönö faoma fokali matriks, vektor, faoma polinomial.

Elemen identitas, ya'ia da'ö: Numero nol faoma sambua ni abstraksi ba wamo'eluaha zisambua elemen identitas ba zisambua fangerai. Nol no sambua elemen identitas ba wamonönö ba sambua ia göi ba wokali. Ba operator biner si no oi la'ila niha sato misa ∗ elemen identitas e lö tola lö'ö ena'ö so khönia; a ∗ e = a faoma e ∗ a = a, ba mangerai samösa ia, na so ni'erai khönia. Da'a te'oguna'ö ia ba wamonönö sitobali; a + 0 = a faoma 0 + a = a ba simanö göi ba wokali; a × 1 = a faoma 1 × a = a. Lö fefu gangorudua faoma fangerai sifabö'ö-bö'ö oi so elemen identitas; simane, angorudua bilangan asli positif (1, 2, 3, ...) lö hadöi khönia elemen identitas ba wamonönö.

Elemen invers mazui unsur balikan, ya'ia da'ö; Bilangan negatif samaehagö lala wangerai; elemen invers. Ba wamonönö, invers a lasura ia faoma −a; na ba wokali lasura ia faoma a⁻¹. Elemen invers te'oguna'ö ba zidombua lala wangerai a⁻¹ asala so khönia zikhala wa a ∗ a⁻¹ = e faoma a⁻¹ ∗ a = e, hiza i e no sambua elemen identitas.

Sifat asosiatif maAsosiativitasla fo'eluaha ia: famonönö bilangan bulat sangokhögö sikhala nifotöi asosiativitas. Ya'ia da'ö, famöfögö bilangan na la fonönö ia lö tebulö zinöndrania. Simane duma-dumania: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). Na sito'ölönia, da'a tobali; (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). Sikhala wangerai da'a tefalua göi ia ba lala wangerai operasi biner, hiza i tenga ba wangerai fangeheta, fombagi, mazuo fokali oktonion.

Sifat komutatif, ya'ia da'ö; Famonönö faoma fokali bilangan real sifagölö sangokhögö sikhala komutatif. Ya'ia da'ö, fenaera numero ni'erai si lö mamulö'ö zinöndra moroi ba wangerai ya'ia. Duma-dumania; 2 + 3 = 3 + 2. Molo'ö fangerai sito'ölö, tola la'erai ia; a ∗ b = b ∗ a. Sikhala da'a lö la'oguna'ö ia ba wangerai operasi biner. Simane, fokali matriks faoma fokali kuaternion, börö me dombua wangerai da'a tenga angolifa zikhala wangerai komutatif.

Angorudua (Grup)

Fangorudugö lala wangerai da'ö yaŵa mame'e fangi'ila hewisa ia wenaeta soguna sibai bakha ba matematika ma abölö enahöi lamane ba; Grup (matematika). Nifotöi Grup ba da'a ya'ia da'ö; famaruka sambua angorudua S ba sambua lala wangerai operasi biner ∗, lafo'eluaha ia bakha ba lala wangerai nifili, hiza böi fasala molo'ö lala simane ba da'a tou;

• So sambua khönia elemen identitas e, irege ero sambua ni'erai khönia simane; a moroi ba S, e ∗ a faoma a ∗ e dombua lala da'a fagölö ira; a.
• Ero-ero elemen sokhönia invers: ero ngawua; a moroi ba S, sokhönia ngawua a⁻¹ irege a ∗ a⁻¹ faoma a⁻¹ ∗ a da'a fagölö ira elemen identitas.
• Lala wangerai sikhala asosiatif: Na a, b, faoma c angolifa moroi ba S, hiza (a ∗ b) ∗ c fagölö ira a ∗ (b ∗ c).

Na'atö angorudua da'a komutatif, ya'ia da'ö ero dombua gangolifania a faoma b moroi ba S, a ∗ b fagölö ira b ∗ a—ba hiza angorudua da'a tola latötöi ia faoma fanötöi grup abelian.

Sitobali duma-duma, angorudua moroi ba bilangan bulat barö wangerai famonönö no sambua angorudua ma grup. Ba gangorudua da'a, elemen identitas ya'ia da'ö; 0 ba hiza invers moroi ba elemen, a ya'ia da'ö negasi, −a. Si lö tola lö'ö te'a'asogö ba wangerai asosiativitas, me ero bilangan bulat, a, b, faoma c, (a + b) + c = a + (b + c)

'Bilangan rasional sitenga Nol tehaogö khönia gangorudua ma grup barö wangerai fokali. Ba da'a, elemen identitas ya'ia da'ö 1, me 1 × a = a × 1 = a ero bilangan rasional a. Invers moroi ba a ya'ia da'ö 1/a, börö me a × 1/a = 1.

Heŵa'ae simanö, bilangan bulat barö wangerai fokali lö tehaogö khönia gangorudua ma grup. Da'a börö me invers fokali bilangan bulat lö mamosinöndra tobali bilangan bulat. Simane duma-duma, 4 no ta'ila wa sambua bilangan bulat, hiza i invers fokali ya'ia, ya'ia da'ö; ¼, ba no tefa'ele'ö wa tenga bilangan bulat.

Lala wangerai sifakhai ba gangorudua nitötöi faoma fehede grup ba wamahaö andre, no mozawili misa wamahaö ya'ia si no oi la'ila niha ya'ia da'ö; teori grup. Nisöndra moroi ba wamahö andre ya'ia da'ö hewisa ba wama'oli gangorudua-gangorudua wangerai ma fanötöi ba li matematika klasifikasi grup-grup sederhana berhingga, hiza abölö ebua nifatumbu'ö ba gotalua ndröfi 1955 faoma döfi si 1983, samöfögö grup sederhana, himpunan berhingga tobali ba zi 30 ngawalö dane-dane wamahaö.

Semigrup, kuasigrup, faoma monoid ya'ia da'ö fenaeta-fenaeta sifagölö ira grup, hiza i sikhalania sifagölötö ba danö bö'ö. No lahaogö sambua gangorudua faoma sambua wangerai operasi biner si tekusi, ha ya'i lö moguna sibai so khönia goi-goi nihonogöi. Semigrup so khönia operasi biner simane; asosiatif, ba lö hadöi elemen identitas. Na Monoid ya'ia da'ö semigrup sangokhögö elemen identitas, ba lö hadöi khönia invers ero-ero elemen. Fabö'ö ira na Kuasigrup, so zi lö tola lö'ö tefa'aso khönia me gofu hadia manö elemen tola tefangamöi tobali elemen tanöbö'ö moroi ba wokali kabera ma zui kambölö; ha ya'i operasi binernia tola manö lö khönia sikhala asosiatif.

Fefu gangorudua ma grup tola lamane fao ba monoid, ba fefu monoid ya'ia da'ö; semigrup.

D u m a - D u m a

Himpunan	Bilangan asli N		Bilangan bulat Z		Bilangan rasional Q (juga Bilangan real R faoma kompleks C)				Modulo bilangan bulat 3: Z3 = {0, 1, 2}
Operasi	+	× (tak-nol)	+	× (tak-nol)	+	−	× (tak-nol)	÷ (tak-nol)	+	× (tak-nol)
Tertutup	Ya	Ya	Ya	Ya	Ya	Ya	Ya	Ya	Ya	Ya
Identitas	0	1	0	1	0	Lö hadöi	1	Lö hadöi	0	1
Invers	Lö hadöi	Lö hadöi	−a	Lö hadöi	−a	Lö hadöi	1/a	Lö hadöi	ero-ero: 0, 2, 1	ero-ero: Lö hadöi, 1, 2
Asosiatif	Ya	Ya	Ya	Ya	Ya	Lö'ö	Ya	Lö'ö	Ya	Ya
Komutatif	Ya	Ya	Ya	Ya	Ya	Lö'ö	Ya	Lö'ö	Ya	Ya
Struktur	monoid	monoid	grup abelian	monoid	grup abelian	kuasigrup	grup abelian	kuasigrup	grup abelian	grup abelian (Z2)

Gelanggang faoma Lapangan

Grup ha sambua khönia operasi biner. Famaehagö ngawalö lala wangerai sifabö'ö-bö'ö, fangerai si so fenaeta dombua lala wangerai lö tola lö'ö lafanöi lala wangi'ila ba wamahaö aljabar andre. Sabölö moguna ya'ia da'ö ba wangi'ila hadia ia nifotöi Gelanggang (matematika), faoma Medan(matematika).

Sambua Gelanggang(matematika) so dombua khönia Operasi biner ya'ia da'ö; (+) faoma (×), simanö göi × distributif ba dete wamonönö (+). Fangerai si'oföna ya'ia da'ö (+), te faehagö khönia grup abelian. Fangerai aefa da'ö, fokali (×), sikhalania ya'ia sa'ae nifotöi asosiatif, ha ya'i lö khönia identitas mazui invers, irege lö moguna la bologö ero fenaeta. Elemen identitas wamonönö (+) lasura ia faoma numero; 0 ba invers famonönö moroi ba a lasura ia faoma; −a. Böi olifu wa lala wangerai da'a tola lamane fangerai si abstrak, fefu zedöna la faehagö.

'Distributif ma sikhala moroi ba distributif la'osara'ö ba zito'ölö la'erai niha ya'ia da'ö; hukum distributif fangerai numero. Na ba bilangan bulat (a + b) × c = a × c + b × c faoma c × (a + b) = c × a + c × b, faoma × latötöi ia; distributif ba dete +.

Bilangan bulat sambua duma-duma moroi ba nifotöi gelanggang. Bilangan bulat sikhalania so khönia wamonönö solohe ya'ia tobali domain integral, ma lamane; daerah bilangan bulat, mazui ranah bilangan bulat,.

Sambua medan (matematika) ma lapangan] ya'ia da'ö; gelanggang sikhala wamonönö wa fefu elemen tak-nol mamaehagö grup abelian barö ×. Sikhala wokali (×) lasura faoma numero 1 ba invers wokali moroi ba a lasura faoma a⁻¹.

Bilangan rasional, bilangan real, faoma bilangan kompleks sambua duma-duma moroi ba lapangan.